+7 (800) 511-35-46 +7 (967) 930-71-27
П.Г. Ткаченко
Введение
Реализация математических моделей каких-либо систем, объектов и процессов является одной из наиболее быстроразвивающихся областей современной науки. Нужно отметить, что приложения указанного направления ограничиваются не только объектами технического характера.
При принятии решения о выборе воздействия, которое необходимо задать управляющим, одним из подходов является применение прогнозирования.
Для того, чтобы адекватно реагировать на какие-либо физические процессы, необходимо реализовывать математические модели как можно более точно. Решение задач данного класса требует применения специальных статистических методов.
С одной стороны, раскрытие и изучение данных механизмов невозможно при помощи обычных уравнений, либо с применением законов физики. С другой стороны, это и не требуется для создания точного прогноза, а также для выбора того или иного решения.
Можно сделать вывод, что оправданно применять методы, которые основаны на анализе полученных статистических данных экспериментов.
Модели, применяющиеся в настоящее время, которые служат для количественного долгосрочного прогноза каких-либо процессов, носящих случайный характер, в большинстве случаев воплощают в жизнь посредством имитационного моделирования.
Основой данных моделей является параметрическая оптимизация, которая базируется на физической модели. Достаточно часто применение указанного подхода позволяет выявить результаты, носящие лишь качественный характер.
Это связано с тем, что опорные функции, входные и выходные переменные, а также классы уравнений определяются самим автором модели.
Данные обстоятельства ведут к тому, что полученные модели не имеют достаточной гибкости, что в свою очередь влияет на их поведение при добавлении новой точки данных.
Построение модели СОУ
Математическая физика, породившая методы имитационного моделирования, имеет дедуктивный характер, что определяет и характер самих методов. В отличие от этого метод группового учета аргументов (МГУА) кардинально отличается от методов имитационного моделирования и имеет индуктивный характер [1, 2].
Самоорганизация моделей представляет собой установление математического описания для какого-либо сложного объекта с использованием перебора достаточного количества вариантов по определенной совокупности внешних критериев.
Применение самоорганизации моделей и использование алгоритмов метода группового учета аргументов, дает возможность переложить выбор модели на «плечи» ЭВМ. Вследствие чего, эффективность полученных моделей заметно повышается.
Объективный характер получаемых долгосрочных прогнозов по методу группового учета аргументов, а также их заблаговременность и точность делает возможным более эффективное применение последующего анализа рассматриваемой модели.
Также необходимо отметить, что прогнозы на основе МГУА позволяют избегать таких вещей как субъективные решения.
Отличительной чертой алгоритмов метода группового учета аргументов является воспроизведение ими схемы массовой селекции. В их состав входят генераторы с каждым шагом усложняющихся опорных функций или комбинаций, а также предельные самоотборы лучших из этих комбинаций (функций).
Рассмотрим постановку задачи построения моделей по статистическим данным или структурно-параметрическую идентификацию.
Данная постановка может быть сведена к нахождению экстремума определенного критерия происходящего на определенном множестве некоторых моделей:
(1.1)
Видно, что выражение (1.1) не несет в себе исчерпывающей информации, позволяющей сформулировать задачу. Следовательно, необходимо выполнить следующее:
- определить вид и размерность исходной информации;
- выделить множество базовых функций, необходимых для формирования множества
- выявить способ, при помощи которого будет реализована генерация моделей а также метод, с помощью которого будет произведена оценка параметров;
- определить критерий для сравнения моделей;
- выбрать метод, при помощи которого будет производиться минимизация критерия CR.
Уточним постановку задачи. Будем считать, что имеется выборка которая содержит в себе n точек наблюдения. Эти точки образуют матрицу а также вектор
Алгоритм решения задачи (1.1) в общем случае будет содержать базовые этапы, которые представлены на рисунке 1.1.
Перечисленные на рисунке 1.1 этапы решения задачи структурно-параметрической идентификации отражают произвольный алгоритм реализации моделей объекта.
В зависимости от априорной информации в алгоритме могут отсутствовать определенные этапы. Например, если задается только одна структура (все множество F состоит лишь из одной модели), то необходимо исключить пятый этап алгоритма.
В целом при решении задачи идентификации необходимо сформировать, исходя из данных выборки, некоторое множество моделей вида
(1.2)
Рисунок 1.1 – Базовые этапы решения задачи структурно-
параметрической идентификации
и найти оптимальную модель, исходя из следующего условия:
(1.3)
при этом для каждой из моделей оценки параметров будут решением определенной экстремальной задачи
(1.4)
В данном выражении носит название сложности модели f.
Сложность модели определяется количеством ненулевых компонент в модели (1.3). QR носит название качества решения задачи.
В рассмотренных задачах имеется ряд неопределенностей.
Такие определенности в принципе свойственны задачам, в которых проводится моделирование, основанное на наблюдениях. Также эти определенности влияют на качество решения задачи.
Совокупность представленных определенностей разделяется на две базовые группы:
- относящиеся к физической информации об объекте моделирования, т.е. относящиеся к данным;
- относящиеся к используемой технологии при моделировании, т.е. относящиеся к средствам анализа и обработки полученных данных.
При выборе метода решения задачи моделирования необходимо учитывать тот факт, что каждый из методов рассматривается с учетом представленных видов неопределенности. При этом крайние позиции отдаются методу группового учета аргументов и имитационному моделированию. Регрессионный анализ занимает промежуточное положение.
Метод группового учета аргументов представляет собой оригинальный метод для решения задач, в которых требуется структурно-параметрическая идентификация моделей. МГУА обладает определенным разнообразием функционала, что затрагивает все этапы процесса моделирования.
В этом состоят принципиальные отличия метода группового учета аргументов в сравнении с методами прикладного регрессионного анализа. Прежде всего это касается применяемых критериев качества объектов, генераторов моделей, а также базисных функций (классов моделей).
Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что класс методов группового учета аргументов представляет собой достаточно эффективный инструмент, позволяющий реализовывать математические модели, основываясь на полученных экспериментальных данных.
Следовательно, метод группового учета аргументов будет являться эффективным математическим аппаратом для построения (выбора) модели системы обнаружения утечек нефти.
Рассмотрим постановку задачи структурного моделирования. Требуется восстановить зависимость, имеющую следующий вид:
(1.5)
Указанная зависимость восстанавливается по выборке наблюдений параметров. В ситуации, когда множество V является бесконечным, для проверки (1.5) нужно проверить утверждения, количество которых также бесконечно:
(1.6)
Очевидно, что отсутствие дополнительной информации (за исключением информации, которая содержится в выборке наблюдений) ведет к невозможности обоснования использования формулы (1.5).
Не смотря на это, формула (1.5) применяется при решении практических задач управления, прогнозирования, а также экстраполяции [3, 4, 5].
Формула (1.5) представляет собой рабочую гипотезу. Для нее не могут быть получены никакие оценки качества прогноза или же экстраполяции в имеющихся предпосылках.
Еще более сложной задачей является обоснование утверждения:
(1.7)
Здесь является случайной величиной. При этом может иметь нулевую дисперсию и нулевое математическое ожидание. Даже, если потребуется лишь опровергнуть эту гипотезу, то надо будет привлечь теорию статистической проверки гипотез.
Следовательно, окончательно отвергнуть гипотезу (1.7) не представляется возможным.
Для того, чтобы иметь некое обоснование моделей (1.5) и (1.7), а также возможность их использования при решении прикладных задач, введем некоторые предположения:
- Структурой отображения называется параметрическое семейство отображений f, которые зависят от параметров
- Несмещенной оценкой отображения называется структура f, если выполняется следующее условие:
(1.8)
В (1.8) является любой несмещенной оценкой М является оператором математического ожидания, в котором осреднение осуществляется по всему набору возможных реализаций параметра Подмножество точек множества V, в котором происходит наблюдение пары значений, является не случайным.
Если, при наличии некоторого значения параметра имеет место быть равенство то в данном случае структура f будет являться несмещенной оценкой отображения h.
Пусть F – некоторый класс структур, а V – измеримое ограниченное множество в пространстве Rm и пусть – мера на Rm, такая, чтоИз этого следует, что для измерения смещения структуры можно использовать следующую величину:
(1.9)
В данном выражении для определения нормы используем формулу:
Если принять во внимание тот факт, что выражение
(1.10)
при значении p = 2 подобно формуле, по которой считают дисперсию, то можно сделать вывод о том, что структура f будет являться эффективной оценкой отображения h, в том случае, когда в классе F величина (1.10) не примет наименьшего значения ни для какой-либо другой структуры.
Основываясь на вышесказанном, сформулируем задачу структурного моделирования по данным наблюдений.
При этом необходимо, чтобы выполнялись предположения, представленные на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 – Предположения для формулировки задачи
структурного моделирования по данным наблюдений
С учетом приведенных предположений необходимо решить одну из двух следующих задач:
- нахождение структуры которая является несмещенной оценкой отображения h;
- нахождение структуры, которая является эффективной в классе F оценкой отображения h.
Модель СОУ зависит от большого числа параметров. При этом не всегда представляется возможным измерение этих параметров.
В некоторых случаях даже изменение местоположения оборудования, входящего в комплекс системы обнаружения утечек нефти, может привести к ухудшению защиты.
Структурная схема алгоритма построения математической модели СОУ показана на рисунке 1.3.
Рисунок 1.3 – Структурная схема алгоритма построения
математической модели СОУ
Представленный на рисунке 1.3 алгоритм построения математической модели СОУ имеет четыре функциональных этапа.
Первый этап направлен на выявление базовых параметров СОУ, которые непосредственно сказываются на качестве защиты объекта.
Второй этап направлен на разработку плана эксперимента и проведение этих экспериментальных исследований.
Третий этап направлен на выбор базиса функций. Базис функций выбирается исходя из физических и эмпирических знаний, полученных от исследуемого процесса. Базис функций необходим для построения математической модели.
Четвертый этап направлен на разработку собственно математического описания СОУ. При этом определение структуры математической модели, а также выбор параметров ложится на плечи компьютера – независимого эксперта. В качестве исходных данных выступают экспериментальные данные.
Представленный на рисунке 1.3 алгоритм построения математической модели СОУ обеспечивает использование математического аппарата моделирования с учетом имеющихся у специалиста (разработчика) эмпирических знаний.
Задача специалиста сводится к сбору данных, полученных в результате эксперимента, и формированию на основании этих данных предполагаемых функциональных зависимостей.
Задача ЭВМ сводится к определению структуры модели и ее параметров.
Три первых этапа, входящих в алгоритм, полностью определяются мнением специалиста.
Заключение
Качество реализуемого математического описания будет зависеть от эффективности выполнения экспериментов. Желательно для выполнения указанных этапов алгоритма привлекать не одно эксперта, а целый коллектив. Это делает возможным в значительной степени сократить время разработки эффективной модели СОУ, а также обеспечить применение моделирования с учетом эмпирических знаний специалиста.